Поверхность (Surface, Oberflä che). — Всякую непрерывную кривую линию можно представить, как след движущейся точки. Подобно этому и всякую Поверхность можно образовать или описать движением в пространстве некоторой кривой линии неизменяемого или изменяемого вида и размеров, и притом способ образования Поверхность может быть разнообразен. Например, всякая Поверхность вращения может быть получена вращением надлежащей плоской кривой вокруг оси, находящейся в одной с нею плоскости, и та же Поверхность может быть описана окружностью круга, радиус которого изменяется по надлежащему закону, а плоскость которого движется поступательно вместе с центром, движущимся по оси вращения, перпендикулярной к плоскости круга. Из этого видно, что вид Поверхность может быть еще более разнообразен, чем вид кривых. Наглядное представление о виде Поверхность труднодостижимо помощью рисунков и чертежей, столь удобных для представления плоских кривых линий. Лучшим средством для наглядного представления Поверхность служат модели, металлические, деревянные. гипсовые и др. Предмет учения о Поверхность разного рода, теперь известных и изученных, очень обширен, и в настоящей статье придется ограничиться указанием на некоторые виды II., более известные и чаще встречающиеся. Многие Поверхность могут быть аналитически представлены уравнениями вида: f(x, у, z) = 0, выражающими зависимость между координатами (см.) точек, принадлежащих Поверхность Иногда Поверхность выражается двумя уравнениями, заключающими, кроме координат, еще четвертую переменную величину, имеющую значение параметра кривой линии, которая своим движением образует Поверхность; в таком случае уравнение Поверхность должно получиться, по исключении этого переменного параметра, из двух уравнений. Наконец, случается, что координаты точек Поверхность выражены функциями двух переменных параметров, тогда уравнение Поверхность должно быть результатом исключения этих параметров из трех уравнений. Если f(x, y, z) есть функция алгебраическая, то Поверхность называется алгебраической, а если в этой функции заключаются функции трансцендентные, то Поверхность называется трансцендентной. Соответственно степени уравнения, алгебраические Поверхность разделяются на порядки. Поверхность первого порядка суть плоскости. Поверхность второго порядка: эллипсоиды, шары, гиперболоиды об одной и двух полах, параболоиды эллиптические и гиперболические, цилиндрические и конические Поверхность второго порядка рассматриваются в любом курсе аналитической геометрии в пространстве. Поверхность третьего порядка рассматривались и исследовались с 30-х годов настоящего столетия многими авторами; таково, например, исследование проф. Клейна ("Mathem. Annal.", т. VI), в котором Поверхность эти разделены на несколько классов, начиная с таких, на которых лежат 27 прямых линий. Поверхность четвертого порядка также были предметом изучения некоторых математиков, и построены модели многих Поверхность третьего порядка и некоторых четвертого порядка. Наконец, встречаются исследования касательно Поверхность высшего порядка, такова, напр., алгебраическая Поверхность девятого порядка, открытая Эннепером и принадлежащая к числу Поверхность minima, т. е. таких, средняя кривизна которых равна нулю. Гиперболоиды об одной поле и параболоиды гиперболические принадлежат к классу линейчатых поверхностей (см.), к которым принадлежат еще всевозможные Поверхность цилиндрические (см.), конические (см.), линейчатые коноиды (см.), линейчатые геликоиды (см.). Гиперболоид об одной поле и параболоид гиперболический имеют по две системы прямолинейных производящих. Линейчатые Поверхность могут быть разделены на два разряда: развертываемые на плоскость и косые. К первым принадлежат: все цилиндрические, все конические Поверхность и геликоид, развертываемый на плоскость (см.). К косым принадлежат вышесказанные гиперболоид и параболоид и обыкновенная винтовая Поверхность, производящие которой перпендикулярны к оси (см.). Эта Поверхность есть вместе с тем и коноид и одна из Поверхность minirna. Поверхность minima названы так потому, что занимают собою наименьшую площадь при заданном контуре; в каждой точке такой Поверхность сумма главных кривизн, или средняя кривизна Поверхность, равна нулю, а поэтому они могут быть воспроизведены пластинчатой (см. Пластинчатое состояние жидкости) поверхностью мыльной воды по способу Плато. Существует весьма большая литература по вопросу о Поверхность Minima. В книге Дарбу "Le çons sur théorie générale des surfaces" (4 тт.) можно найти весьма полное изложение по теории Поверхность Minima. В числе Поверхность Mmima есть катеноид, т. е. Поверхность, образуемая вращением цепной линии (см. соотв. ст.; см. табл. Кривые, черт. 3) вокруг ее оси абсцисс. Этот катеноид может быть наложен без разрыва и складок на вышесказанную винтовую линейчатую Поверхность таким образом, что обратившаяся в прямую линию окружность шейки катеноида ляжет вдоль оси винта и все кривые меридиональных сечений катеноида обратятся в прямые, которые лягут по производящим. Катеноид есть единственная минимальная Поверхность вращения. Поверхность с постоянною средней кривизной принадлежат к числу тех, которыми может быть ограничена Поверхность жидкости, не подверженной действию внешних сил. К числу таких Поверхность, кроме катеноида, принадлежат две Поверхность вращения: ундулоид и нодоид. Из числа Поверхность с постоянной полной отрицательной кривизной мы укажем на одну Поверхность вращения, меридиональное сечение которой есть трактриса, или трактория (см.; см. также таблицу Кривые, черт. 12, левая фигура); эта Поверхность называется псевдосферою (см.), потому что, подобно как на сфере, можно переносить фигуру, начерченную на ней, на другую часть Поверхность с сохранением длин дуг, углов и величин площадей. О величинах площадей замкнутых Поверхность (см.).

Д. Б.