Кривые* — Всякая линия, за исключением прямой, называется Кривые* Если через все точки Кривые* можно провести одну общую плоскость, то Кривые* называется плоской. В противном случае Кривые* называется Кривые* двоякой кривизны. Кривые* может быть рассматриваема или как геометрическое место точек, или как путь, пройденный движущейся точкой, или как граница поверхности. По Плюкеру, Кривые* образуется следующим образом: точка движется по прямой, которая в это время вращается около движущейся точки в некоторой плоскости, плоскость же эта вращается около упомянутой прямой. В этом образовании движущаяся точка есть точка К., вращающаяся прямая — касательная, а вращающаяся плоскость — плоскость соприкосновения. В математике особенное внимание обращается на Кривые*, определяемые каким-нибудь законом. Закон, определяющий Кривые*, выражается уравнением между координатами точки Кривые* Если уравнение, определяющее Кривые*, выражено в Декартовых координатах (см.), то порядок уравнения (степень высшего члена уравнения, освобожденного от радикалов над переменными и от переменных в знаменателях) показывает во скольких точках Кривые* пересекается прямой, причем точки пересечения могут быть действительными или мнимыми. Законом образования Кривые* называются свойства ее, достаточные для определения и изучения. Например: геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная, есть эллипс (фиг. 1, табл. I), который может быть выражен уравнением: x²/a²+y²/b²=1.

КРИВЫЕ I.

1) Эллипс и его развертка. 2) Парабола как огибающая ряда окружностей. 3) Равносторонняя гипербола с подошвенной кривой. 4) Циссоида. 5) Декартов лист. 6) Кривые 3-го порядка. 7) Кардиоида как каустическая кривая. 8) Улитки Паскаля. 9) Эллипс с параллельными кривыми. 10) Конхоиды: a) Никомеда, b) круговая. 11) Кривые 4-го порядка. 12) Конфокальные кривые 2-го порядка. 13) Ортогональные траектории (два семейства гипербол). 14) Линии Кассини.

Геометрическое место точек, равно удаленных от некоторой данной точки и от некоторой прямой, есть парабола (фиг. 2), которая может быть выражена уравнением: у²= 2рх.

Геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная, есть гипербола (фиг. 3), которая может быть выражена уравнением: x²/a²-y²/b² =1 На фиг. 3-ей изображена также подошвенная Кривые* гиперболы; подошвенной Кривые* данной Кривые* называется геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на касательные данной Кривые* Некоторые Кривые* удобнее выражаются в каких-либо иных координатах, например — в полярных. Если из какой-либо точки окружности будем проводить секущие и на них, начиная от пересечения с окружностью, будем откладывать одну и ту же длину, то получим ряд точек, образующих улитку Паскаля (фиг. 7 и 8), выражаемую уравнением r = а + bcos φ где: а = длина, откладываемая от окружности, b = диаметр окружности, r и φ — полярные координаты (см. Координаты). Если из какой-либо точки будем проводить прямые, пересекающие данную прямую, и на них, начиная от пересечения с данной прямой, будем откладывать одну и ту же длину, то получим ряд точек, образующих Кривые*, называемую конхоидой (фиг. 10 а). Поступая также не с данной прямой, а с данной окружностью, получим круглую конхоиду (фиг. 10 b). На фигуре 11-й изображены некоторые Кривые* 4-го порядка. На фигуре 12-й изображена сеть, состоящая из ряда эллипсов и гипербол, имеющих одни и те же фокусы. Такая сеть конфокольных эллипсов и гипербол может служить координатной сетью для определения положения точки. Кривые, уравнения которых содержат тригонометрические функции или высшие трансцендентные функции переменных, называются трансцендентными. К ним относится между прочим: синусоида (фиг. 1, табл. II), выражаемая уравнением: у =sinx.

КРИВЫЕ II.

1) Синусоида. 2) Тангенсоиды. 3) Логарифмика и ценная линия. 4) Обыкновенная циклоида и циклоида, служащая ей разверткой. 5) Растянутая и сжатая циклоиды. 6) Гипоциклоида и эпициклоида. 7) Архимедова спираль. 8) Гиперболическая спираль. 9) Литуус. 10) Логарифмическая спираль. 11) Развертывающая круга. 12) Трактория. 13) Особые точки.

Тангенсоида (фиг. 2, табл. II) выражается уравнением: y =tgx. На фиг. 3-й табл. II изображены две логарифмики, из которых левая выражается уравнением x = mlgy, и цепная линия, выражаемая уравнением у =a/2[l^x/a+l^-x/a] и представляет собою вид тяжелой цепи, подвешенной за концы. На фиг. 4-й табл. II изображена циклоида, описываемая точкой обода колеса, катящегося по плоскости (точнее говоря — точкой окружности, катящейся по прямой). На фиг. 5-й табл. II изображена растянутая циклоида, описываемая точкой колеса, находящейся между ободом и центром, и сжатая циклоида, описываемая точкой, прикрепленной к колесу на расстоянии от центра большем радиуса колеса. На фиг. 6-й изображена эпициклоида, описываемая точкой окружности, катящейся по внешней стороне неподвижной окружности, и гипоциклоида, описываемая точкой окружности катящейся по внутренней стороне неподвижной окружности. На фиг. 7-й изображена Архимедова спираль, имеющая уравнение p = аω. Гиперболическая спираль (фиг. 8) имеет уравнение р ω = а. Уравнение спирали логарифмической есть p = а^ω. Точка нити, развертываемой с окружности, на которую она была намотана, описывает p aзвepmывaющие окружности (фиг. 11). Каждая Кривые*, рассматриваемая как развертывающая, имеет свою развертку, то есть такую Кривые*, развертывая с которой нить можно описать данную Кривые* Развертка эллипса (фиг. 1, табл. I). Развертка циклоиды есть циклоида (фиг. 4, табл. II). Цепная линия есть развертка трактрисы (трактории) (фиг. 12). На ф. 13 изображены особые точки Кривые*: двойные точки (а, с, d, е, h), в которых Кривые* пересекается сама с собой. Точка с узлом а — крунодольная. Точки возврата b — куспидольная. Точка перегиба f. Важнейшие свойства главнейших Кривые* излагаются в курсах аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений.

Н. Д.