Бесселевы функции или цилиндрические функции, или цилиндрические гармоники — выражения, введенные в анализ и в особенности в небесную механику немецким астрономом Бесселем и потому носящие его имя. Во Франции еще раньше Бесселя подобные функции рассматривал Фурье в теории теплоты, и потому их называют также иногда еще функциями Фурье-Бесселя. Бесселевы функции ф. можно ввести в рассмотрение весьма различным образом, смотря по той цели, к которой они применяются. Можно исходить из некоторых разложений в ряд тригонометрический, или по степеням независимой переменной, или из дифференциального уравнения второго порядка, которому удовлетворяют эти функции. Обозначая функции 0-го, 1-го, 2-го... порядка, как это общепринято, буквами J ₀(x), J₁(x), J₂ (x)... имеем, например:

cos(xsin φ) = J₀(x) + 2J₂(x)cos2 φ + 2J₄(x)cos4 φ + …

sin(xsin φ) = 2J₁(x)sin φ + 2J₃(x)sin3 φ + …

или e ^½x(z—1/z) = J₀(x)+J₂(x)[z²+(1/z²)]+J₀(x)[z⁴+(1/z⁴)]+J₁(x)(z — 1/z)+J₃(x)(z³ — 1/z³)+…,

а дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют Бесселевы функции функции n-го порядка, есть

d²J_n(x)/dx² + (1/x)(dJ_n(x)/dx + [1 — n²/x²]J_n(x) = 0

Между тремя последовательными Б-ми функциями существует простое соотношение:

xJ_n + 1(x) — 2nJ_n(x) + xJ_n — 1(x) = 0

из которого явствует, что достаточно знать значения двух каких-нибудь из Бесселевы функции-вых функций, напр. J ₀ и J ₁, чтобы можно было найти все остальные посредством простых арифметических операций. Отсюда же легко получить следующую непрерывную дробь, позволяющую вычислять с произвольной степенью точности значения какой угодно Б-вой функции:

P = (½n)/x — [1/(2n+2)]/x — [1/(2n+4)]/x — …

Для этого стоит только положить J _n = p_nJ_n — 1, откуда будет вообще Jn = p ₁ p₂ ... pn J₀, а это непосредственно приводит к написанной непрерывной дроби. Бесселевы функции-вы функции могут также быть представлены и притом несколькими способами в виде определенного интеграла, а именно:

Разложенная в ряд Б-ва функция n-го порядка есть:

Определение Бесселевы функции-вой функции посредством определенного интеграла или ряда может быть распространено и на случай нецелого значения показателя n с условием в последнем случае n + 1 больше 0. Так, напр., из интеграла получается:

Употребление функций Бесселя в анализе, в теории теплоты и в небесной механике основано на том, что многие разложения в ряд могут быть сделаны с удобством посредством именно этих функций. Так, напр., имеем:

cosx = J₀(x) — 2J₂(x) + 2J₄(x) — …

sinx = 2J₁(x) — 2J₃(x) + 2J₅(x) — …

½ = 1/2J₀(x) + J₂(x) + J₄(x) + …

½x = J₁(x) + 3J₃(x) + 5J₅(x) + …

½x² = 2²J₂ (х) + 4 ²J₄ (х) + …

½x³= 3(3² — 1)J₃(x) + 5(5² — 1)J₅(x) + …

Такие разложения в ряд играют важную роль в теории возмущений планетных движений. Эти же функции интегрируют в анализе известное дифференциальное уравнение Риккати. Заметим в заключение, что функции Бесселя можно рассмативать как частный случай функций Лежандра, или шаровых функций, или сферических гармоник, т. е. функций, удовлетворяющих уравнению:

(1 — x²)d²Pm/dx² — (2x)dPm/dx + m(m + 1)P_m = 0

для случая m = ∞, а именно вводя новую переменную ξ и новую функцию η положениями

ξ = m√(1—x²)

η = (1 — x²)^½n(dnPn/dxⁿ)

получим, полагая m бесконечно большим, дифференциальное уравнение, удовлетворяемое Бесселевы функции-ою функцией n-го порядка, написанное выше.

Литература. Работы самого Бесселя о функциях, носящих его имя, помещены в собрании его сочинений, изд. Энгельмана т. I. Затем специально Бесселевы функции-м функциям посвящены труды: Неймана (Neumann), "Theorie der Bessel'schen Functionen"; Ломмеля (Lommel), "Studien ü ber die Bessel'schen Functionen". Весьма полное исследование этих функций можно найти в трактате Гейне (Heine) "Handbuch der Kugelfunctionen" (2-е изд.) и в более элементарном учебнике Тодгентера (Todhunter), "An elementary Treatise on the functions of Laplace, Lam é and Bessel". Таблицы численных значений Бесселевы функции-вых функций для практических приложений их находятся в работе Бесселя, в статье Гансена об определении абсолютных возмущений и подробнее других в специальных таблицах Мейсселя (Meissel).