Радикал, в математике — Один из корней двучленного уравнения xⁿ = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n — показателем корня. Радикал называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Радикал подразумевается число положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Радикал, может подвергаться преобразованиям при помощи формул:

Если данное выражение имеет вид дроби, знаменатель которой содержит Р., то, помножая числитель и знаменатель на выражение, надлежащим образом подобранное, можно удалить все Радикал из знаменателя. При помощи средств начальной алгебры можно выполнить это преобразование только в простейших случаях. В высшей алгебре подкоренное число a предполагается комплексным (см. Мнимые величины) и представляется под видом

a = r(cos φ + isin φ), где r > 0.

Для n значений Радикал получается выражение

,

где k = 0, 1, 2,..., n— 1. В правой части положительное число, n -ая степень которого равна r. При помощи Радикал можно выразить корни каких угодно уравнений второй, третьей и четвертой степени. Решать же уравнения высших степеней при помощи Радикал возможно только в исключительных случаях, как это выяснилось благодаря исследованиям Абеля и Галуа. В соч. Д. Селиванова "Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами" (СПб. 1889) приведены примеры уравнений, нерешаемых алгебраически. Оказывается, что напр. уравнение х⁵— х —v = 0 не решается в Радикал, если v не делится на 15. Если в алгебраическом решении уравнения все показатели Радикал равны двум, то корни можно построить при помощи циркуля и линейки. На этом основании Гаусс в своем сочинении "Disquisitiones arithmeticae" (в "Ganss Werke", т. I) указал, какие правильные многоугольники можно вписать в круг при помощи циркуля и линейки. К числу таких многоугольников принадлежит семнадцатиугольник.

Д. Селиванов.