Геометрические сложения и вычитания векторов — встречаются весьма часто в физике и механике; таковы, например, сложения сил, приложенных к одной точке, сложения скоростей, ускорений и проч. Геометрическое сложение двух векторов АА₁ и BB₁ имеет целью построение третьего вектора СС ₁, такого, проекция которого на какое бы то ни было направление равнялась бы сумме проекций на то же направление слагаемых векторов AA₁ и ВВ ₁. Построение этого вектора CC₁, называемого геометрической суммой слагаемых векторов, производится так: из какой-либо точки О (черт. 1) проводится длина О α ₁, равная ипараллельная вектору АА ₁; из конца её α ₁ проводится длина α ₁ β ₁, равная и параллельная вектору ВВ ₁; соединив точку О с β ₁, получим длину O β ₁, представляющую величину и направление геометрической суммы CC₁.

Черт. 1.

Можно сначала отложить O β ', равную и параллельную ВВ₁ и от точки β' отложить β ' β ₁, равную и параллельную AA₁; — результат получится тот же самый. Можно еще сказать так: геометрическая сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на сторонах равных и параллельных геометрически слагаемым векторам, отложенных от какой-либо точки О, причем и диагональ надо провести из той же точки О. Геометрическое вычитание вектора ВВ₁ из вектора АА₁ имеет целью найти такой вектор DD₁ проекция которого на какое-либо направление равнялась бы разности проекций векторов АА ₁ и ВВ₁ на то же направление. Говоря иначе, геометрическая разность DD₁ между геометрически уменьшаемым вектором АА₁ и геометрически вычитаемым вектором ВВ₁ равна геометрической сумме векторов AA₁ и B₁B, причем последний равен и противоположен ВВ₁. Из этого следует, что построение геометрической разности между АА₁ и ВВ₁ должно быть произведено по правилу построения геометрической суммы векторов В ₁ В и АА₁, т. е. надо провести O β ' (черт. 2), равную и параллельную В ₁ В, из β' провести β ' δ, равную и параллельную АА₁ и соединить О с δ .

Черт. 2.

Если полученную геометрическую разность DD₁ геометрически придать к ВВ₁, то их геометрическая сумма будет равна АА ₁.

Д. Б.