Бесконечно малые и бесконечно большие величины — Бесконечно малая величина есть такая переменная величина, предел которой есть 0, или, что то же самое, это есть такая переменная величина, которая может быть сделана менее всякой данной величины. Поэтому Бесконечно малые и бесконечно большие величины м. величину называют также иногда произвольно малою величиной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины большая величина, или произвольно большая величина, напротив, есть такая, которая может быть сделана более всякой данной величины. Эти два вида переменных величин взаимно соответствуют один другому и должны быть рассматриваемы вместе. Так, в элементарной геометрии разность между длиной окружности круга и периметром вписанного или описанного многоугольника с произвольно большим числом сторон есть величина произвольно малая. Бесконечно малые и бесконечно большие величины малые и Бесконечно малые и бесконечно большие величины большие величины делят на различные порядки. Выбирая из данных переменных величин одну какую-нибудь за малую величину первого порядка, называют Бесконечно малые и бесконечно большие величины малыми величинами того же первого порядка всякую Бесконечно малые и бесконечно большие величины малую величину, отношение которой к данной есть величина конечная. Если же отношение это есть Бесконечно малые и бесконечно большие величины малая величина и притом 1-го порядка, то ее называют Бесконечно малые и бесконечно большие величины малой величиной 2 -го порядка и т. д. Таким образом, если, напр., α есть бесконечно малая величина, а k какая-нибудь конечная величина, то kα есть также Бесконечно малые и бесконечно большие величины малая величина 1-го порядка, а α ⁿ есть Бесконечно малые и бесконечно большие величины малая величина n-го порядка. В то же время 1/α считается Бесконечно малые и бесконечно большие величины большой величиной 1-го порядка, 1/α ⁿ — Бесконечно малые и бесконечно большие величины большой величиной n-го порядка и т. д. Порядок малости или великости какой-нибудь переменной величины может быть не только целый, но и дробный, или иррациональный; так, напр., при Бесконечно малые и бесконечно большие величины большом х 1-го порядка величина logx есть Бесконечно малые и бесконечно большие величины большая величина Бесконечно малые и бесконечно большие величины малого порядка. Громадное значение, какое имеют Бесконечно малые и бесконечно большие величины малые величины в анализе, основано на следующих двух положениях: I. При разыскании предела отношения двух выражений, содержащих Бесконечно малые и бесконечно большие величины малые величины различных порядков, можно отбросить все Бесконечно малые и бесконечно большие величины малые величины кроме тех, порядок которых наименьший. II. При разыскании предела суммы выражения, содержащего Бесконечно малые и бесконечно большие величины малые величины различных порядков, можно отбросить все Бесконечно малые и бесконечно большие величины малые величины кроме тех, порядок которых наименьший. На этих положениях основано все дифференциальное и интегральное исчисление (см, это сл.). В течение долгого времени эти свойства Бесконечно малые и бесконечно большие величины малых величин казались парадоксальными и возбуждали споры и возражения со стороны многих математиков. См. напр. книгу Карно: "Reflexions sur la m étaphysique du calcul infinitésimal".