Иррациональное число

- так называются в математике числа, которые не могут быть точно выражены ни целыми числами, ни арифметическими дробями, а представляются бесконечными и непериодическими десятичными дробями; означаются особыми знаками (радикалами) или буквами (е, π). Полная, превосходная по своей строгости теория Иррациональное число чисел, или, что одно и то же, несоизмеримых отношений, существовала уже у греков и изложена Эвклидом в V-й книге его "Начал". В настоящее время пользуются известностью взгляды гейдельбергского профессора Кантора. Для выяснения сущности Иррациональное число числа рассмотрим ряд чисел

и ₁ и ₂ и ₃ ..... u_n... (1)

определяющих некоторую переменную величину и. Числа u₁ и ₂ ... u_n пусть будут рациональны, т. е. такие, которые известны из элементарной арифметики, именно положительные или отрицательные, целые числа или рациональные дроби. Если существует такое рациональное число а, что числовое значение разности (u_n — a) может быть сделано, при достаточно большом n, меньше всякого наперед произвольно заданного малого числа ε, то а называется пределом переменной величины и. Отсюда следует, что ряд (1) обладает свойством:

числовое значение u _n+m — u_n < ε... (2)

при всяком т (хотя бы даже зависящем от n), при достаточно большом n. Свойство ряда (1), выражаемое неравенством (2), есть основное для переменных, имеющих пределы, но обратного предложения не существует, т. е. переменная величина может иметь ряд частных значений, обладающих свойством (2), и не существовать такого числа а (рационального), которое можно было бы назвать пределом. Так вот, если рационального предела переменной и не существует, а частные значения переменной удовлетворяют свойству, выражаемому неравенством (2), то говорят, что эта переменная имеет пределом Иррациональное число число. Вычислить Иррациональное число число с точностью до некоторой заданной дроби 1/р — это значит указать номер n частного значения переменной величины и, имеющей свойство (2), для которого, равно как и для всех высших номеров, удовлетворяется неравенство:

u_n+m — u_n < 1/p.

Обозначая это значение переменной через u_o, можно сказать, что рациональное число u _о есть приближение к Иррациональное число, заданному известным рядом, с точностью до 1/ p. Такое рациональное число u_o и вводится затем в приближенные вычисления вместо Иррациональное число числа. Пусть дана десятичная дробь

3,14159....

у которой цифры десятичных идут в некоторой определенной последовательности, т. е. существуют правила для продолжения этих цифр как угодно далеко, причем ряд цифр не кончается и сколько бы их ни было написано, всегда можно, если пожелаем, по указанным правилам, продолжать ряд далее. Отдельные числа ряда (1) в данном случае будут:

u₁ = 3

u₂ = 3,1

u₃ = 3,14

u₄ = 3,141

.................

.................

Возьмем разность

u _п+т — u_n = 0,000... 00 αβγ ... δ

в которой после запятой будет n нулей и затем еще т десятичных цифр. Каковы бы ни были цифры β, γ,... δ, число αβγ... δ < (α + 1)000... Отсюда следует, что при достаточно большом n и совершенно независимом от числа m, дробь (α + 1)/10ⁿ может быть сделана как угодно малой, а

u_n+m — u_n < (α + 1)/10ⁿ

причем это неравенство имеет место, сколько бы ни было цифр β, γ... δ, т. е. каково бы ни было конечное число т. Таким образом всякая бесконечная десятичная непериодическая дробь определяет всегда некоторое Иррациональное число число, напр. π, е , √2 и пр. Поэтому вычислить Иррациональное число число с точностью до 1/10 ⁿ это значит вычислить n десятичных знаков в разложении заданного Иррациональное число числа в бесконечную десятичную дробь.

Д. Граве.