Симметрические функции

Энциклопедия Брокгауза Ф.А. и Ефрона И.А. (1890 - 1916гг.) Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии (118447 статей и 6000 рисунков).

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Z
С СА СБ СВ СГ СД СЕ СЖ СИ СК СЛ СМ СН СО СП СР СС СТ СУ СФ СХ СЦ СЧ СЪ СЫ СЬ СЭ СЮ СЯ
СИА
СИБ
СИВ
СИГ
СИД
СИЕ
СИЖ
СИЗ
СИИ
СИЙ
СИК
СИЛ
СИМ
СИН
СИО
СИП
СИР
СИС
СИТ
СИУ
СИФ
СИХ
СИЦ
СИЧ
СИШ
СИЯ

Симметрические функцииФункция от n переменных х1, x2,..., х n наз. симметрическою, если она не меняется при всевозможных перестановках этих переменных. Например: x12x2 + x12x3 + х22x1 + x22x3 + x32x1+ x32x2 есть Симметрические функции функция, так как она не меняется при всех перестановках букв х1, x2 и x3. Эта функция вполне определяется одним членом х12x2 и потому для краткости обозначается через Σ x12x2. Подобным же образом Симметрические функции функции от x1, x2, x3 и х4

Σ x12x22 = x12x22 + x12x32 + x12x42 + x22x32 + x22x42 + x32x42.

Симметрические функции функции называются элементарными, если каждая из переменных входит только в первой степени. В случае n переменных все элементарные Симметрические функции функции суть

Σ x1 = с1, Σ x1x2 = c2, Σ x1x2x3 = c3,... , х1x2...xn = с n.

Здесь введены буквы c1, c2,..., с n для обозначения этих функций.

Если x1, x2,..., xn корни уравнения f(x) = xn + p1xn—1 + p2xn—2 +... + pn—1x + Pn = 0, то

c1 = —p1, c2 = p2, c3 = —p3,..., cn =(1)npn.

Всякая целая Симметрические функции функция от x1, x2,..., х n есть целая функция от с1, c2,..., с n.

Вычислить Симметрические функции функцию значит выразить ее через элементарные Симметрические функции функции. Для вычисления Симметрические функции функции. Sm = Σ x1m служат следующие формулы Ньютона

s1 — с 1 = 0

s2 — c1s1 + 2 с2 =0

s3 — c1s2 + c2s13c3 = 0

sn — с 1sn—1 + c2sn—2 —... + (1)nncn = 0

sn+k — c1sn+k—1 + c2sn+k—2 —..... + (1)ncnsk = 0.

Для вычисления Симметрические функции функции более сложного вида могут служить формулы

Σ x1αx2α = 1/2[(sα)2 — s2 α ]

Σ x1αx2β = sαsβ — s α + β , α не = β

Σ x1αx2αx3α = 1/6[sα33s2 α sα + 2s3 α ]

Σ x1αx2αx3β = 1/2(sα2sβ — s2 α sβ2s α + β sα + 2s2 α + β

Σ x1βx2βx3γ = sαsβsγ — s α + β sγ — s α + γ sβ — s β + γ sα + 2s α + β + γ .

Здесь числа α, β и γ различны между собой. В курсах высшей алгебры Serret, Salmon, Weber и др. можно найти различные приемы для вычисления Симметрические функции функций. При помощи Симметрические функции функций решаются различные вопросы: рациональные функции от корня уравнения приводятся к целому виду; составляется уравнение, которому удовлетворяет данная функция от корней; исключаются переменные из системы уравнений и т. д.

Д. Симметрические функции

Смотрии так же...