Сравнение, в математике

Энциклопедия Брокгауза Ф.А. и Ефрона И.А. (1890 - 1916гг.) Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии (118447 статей и 6000 рисунков).

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Z
С СА СБ СВ СГ СД СЕ СЖ СИ СК СЛ СМ СН СО СП СР СС СТ СУ СФ СХ СЦ СЧ СЪ СЫ СЬ СЭ СЮ СЯ
СРА
СРБ
СРЕ
СРИ
СРО
СРУ

Сравнение, в математике — Говорят, что a сравнимо с b по модулю n, если a—b делится на n. Это обозначают так: a b (mod n). Сравнение имеют много сходства с равенствами. Если f(x) целая функция с целыми коэффициентами и а b (mod n), то f(a) ≡ f(b) (mod n). Решить Сравнение f(x) ≡ 0 (mod n) значит найти, какое число надо подставить вместо x для того, чтобы удовлетворить Сравнение Если f(a) делится на n, то данному Сравнение удовлетворяют и все числа сравнимые с a по модулю n. Условились, совокупность всех таких чисел называть одним решением данного Сравнение Говорят, что f(x) ? ≡ 0 (mod n) имеет m решений, если ему удовлетворяют m чисел несравнимых между собой по модулю п.

Перечислим несколько теорем, относящихся к Сравнение

Сравнение первой степени ax b (mod n) возможно, если b делится на d, наибольшего делителя чисел a и b, и имеет d решений. Если n простое число и a не делится на n, то

an—1 ≡ 1 (mod n) (теорема Фермата).

Если n простое число, то

1.2.3...(n—1) ≡ 1 (mod n);

если же n — составное, то 1.2.3...(n— 1)+1 не делится на n (теорема Вильсона). Сравнение второй степени x2 q (mod p) при простом модуле возможно и имеет два решения, если q(p—1)/2 ≡ 1 (mod p); Сравнение невозможно, если q(p—1)/2 ≡ —1 (mod p).

Эти два случая различаются при помощи особого вычисления, предложенного Лежандром и усовершенствованного Якоби. Вычисление выполняется очень быстро даже для больших значений p и q.

Сравнение m -ой степени при простом модуле не может иметь более m решений (теорема Лагранжа).

Сравнение xmq (mod p) при простом модуле возможно и имеет d решений, если q(p—1)/d ≡ 1 (mod p). Здесь d наибольший делитель чисел m и p—1.

Для всякого простого числа p существует такое число g, называемое его первообразным корнем, что числа g, g2, g3...gp—1 несравнимы между собой по модулю р.

Если gaа (mod p), то a называется указателем (index) числа a при основании g. Это обозначают так: a = ind a, причем основание подразумевается.

В "Теории Сравнение" П. Л. Чебышева приложена таблица указателей для всех простых чисел меньших 200. В сочинении C. G. J. Jacobi, "Canon Arithmeticus", эти таблицы доведены до 1000.

При помощи указателей решаются Сравнение на основании теоремы:

ind (a b) ≡ ind a + ind b (mod p—1)

напоминающей свойства логарифмов.

Важнейшие сочинения, относящиеся к теории Сравнение: Gauss, "Disquisitiones arithmeticae" (Лейпциг, 1801, "Gauss Werke", т. I; это сочинение издано в Берлине в 1889 г. в переводе на немецкий язык); Serret, "Cours d'alg èbre supé rieure" (т. II, секц. III, П., 1879); Dedekind, "Vorlesungen über Zahlentheorie vo n Lejeune-Dirichlet" (Брауншвейг, 1894; в 1899 г. в СПб. появился первый выпуск этого сочинения в переводе на русский язык); П. Л. Чебышев, "Теория Сравнение" (СПб., 1849; 2-е изд., СПб., 1879); Ю. В. Сохоцкий, "Высшая алгебра" (ч. II-я, СПб., 1888).

Д. Сравнение

Смотрии так же...