Ряд, в математике

Энциклопедия Брокгауза Ф.А. и Ефрона И.А. (1890 - 1916гг.) Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии (118447 статей и 6000 рисунков).

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Z
Р РА РБ РВ РГ РД РЕ РЖ РИ РК РО РТ РУ РШ РЫ РЭ РЮ РЯ
РЯБ
РЯВ
РЯД
РЯЖ
РЯЗ
РЯП
РЯС

Ряд, в математике Содержание. 1) Определение. — 2) Число, определяемое рядом. — 3) Сходимость и расходимость рядов. — 4) Условная и абсолютная сходимость. — 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды.

1. Определения. Ряд есть последовательность элементов, составленных по какому-нибудь закону. Если дан Ряд, то это значит, что указан закон, при помощи которого можно составить сколько угодно элементов Ряд По свойству элементов различают Ряд чисел, Ряд функций и Ряд действий. Приведем несколько примеров.

1, 2, 3, 4,..., n,...

есть Ряд натуральных чисел;

1, 4, 9, 16,..., п2 ...

— Ряд квадратов;

а 0, а 1 х, а 2 а 2, ..., а nxn,...

— Ряд степенных функций или степенной Ряд

Здесь числа a 0, a1, a2,...,an ... написаны по какому-нибудь закону, напр.

1, x, x2/(1.2), x3/(1.2.3),... xn/(1.2...n), ...

или

0, x, x2/2, x3/3, x4/4... (—1)n-1xn/n ..

Для того, чтобы вычислить числовое значение некоторого выражения надо выполнить Ряд действий. Напр.

√[(35 — 3)/2] = √[32/2] = √16 = 4.

При помощи Ряд действий отыскивается наибольший делитель двух данных чисел.

Ряд u0, u1, u2,. .. un...

назыв. бесконечным, если после всякого элемента uk найдется элемент uk+1; в противном же случае Ряд назыв. конечным. Напр.

1. 2, 3,... 9, 10

есть конечный Ряд, потому что не существует элементов после элемента 10.

2. Число, определяемое рядом.

Особенное значение имеют бесконечные Ряд вида

(1)... а1/10, а 2/102, ... а n/10n, ...,

где а1, а2, а3, ... а n, ... целые положительные числа, a0 как угодно велико; каждое же из остальных чисел а1, а2, а3, ... меньше 10. Такой ряд можно назвать числом, так как возможно сравнивать этот ряд с рациональными числами (см.), можно установить понятия о равенстве, сумме, произведении, разности и частном таких рядов.

Ряд (1) обозначим для краткости одною буквою а.

Говорят, что а больше рационального числа p/q, если при достаточно большом n имеет место неравенство

а0 + а1/10 + а2/102 +... + аn/10n > p/q

Если же при всяком n

а 0 + а1/10 + а2/102 +... + аn/10n не > p/q

но при достаточно большом n

а 0 + а1/10 + а2/102 +... + аn/10n > r/s

где r/s произвольно взятое число, меньшее p/q, то считают а равным p/q.

На этом основании Ряд

9/10, 9/102, 9/103,...

равен единице. Это равенство обозначают так: 0, 999... = 1.

Если а не равно 9, а все последующие числа

ak+1, ak+2, ak+3, ... равны 9, то число а, определяемое Ряд (1), равно

а0 + а1/10 + а2/102 +... + (аk + 1)/10k.

Если же не все числа аk+1, аk+2, аk+3 ...равны 9, то

а = а0 + а1/10 + а2/102 +... + аk/10k

Может случиться, что все элементы ряда (1), начиная с аk+1, равны нулю. В таком случае согласно с высказанным определением

а < а0 + а1/10 + а2/102 +... + (аk +1)/10k

Такого рода число наз. конечною десятичною дробью.

Из арифметики известно, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную получается конечная дробь или бесконечная периодическая. Всякая периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную дробь. Отсюда следует, что бесконечная непериодическая десятичная дробь не может равняться рациональному числу и потому представляет число особого рода, называемое иррациональным (см.).

3. Сходимость и расходимость рядов. Ряд чисел

(2)... u0, u1, u2,. .. un,...

наз. сходящимся, если существует такое число а (рациональное или иррациональное), что при возрастании n численное значение разности

а — (u0 + u1 + u2 +... un—1)

становится и остается сколь угодно малым. Такое число a наз. суммою Ряд В этом случае пишут

(3)... а = u0 + u1 + u2 +...

и это равенство наз. разложением числа a в бесконечный Ряд Если такого числа а не существует, то Ряд (2) наз. расходящимся.

Важнейший пример сходящегося Ряд представляет геометрическая прогрессия (см.).

1, q, q2,...,

знаменатель которой q по численному значению меньше единицы. В этом случае имеет место разложение

1/(1 — q) = 1 + q + q2 +...

Примером расходящегося Ряд может служить

1/1, 1/2, 1/3,...

Этот Ряд наз. гармоническим, так как каждые три его последовательных члена образуют гармоническую пропорцию (находятся в гармоническом отношении; см.). Выражение

1 + 1/2 + 1/3 +...

не имеет никакого смысла.

Если же члены гармонического Ряд взять попеременно со знаками + и —, то получим сходящийся Ряд Выражение

1 — 1/2 + 1/3 — 1/4 +...

равно логарифму 2, взятому при основании е (см.).

Не имея возможности излагать подробно признаки сходимости, отметим только следующие теоремы.

Данный Ряд — сходящийся, если Ряд модулей (см.) его членов сходящийся.

Ряд v0,v1, v2, —v3...,

в котором числа v0, v1, v2, v3. .. положительные, сходящийся, если при возрастании n

lim vn = 0.

Ряд с положительными членами

u0, u1, u2,..., un, ...

сходящийся, если

lim(un+ 1)/un < 1

этот ряд расходящийся, если

lim(un+ 1)/un > 1

Если для Ряд с положительными членами

но, и0, и1,u2,.., и n...

отношение

lim(un+ 1)/un = 1 — r/n + θ (n)/n α,

где r не зависят от n, α > 1 и θ (n) по численному значению остается постоянно меньше некоторого положительного числа, то Ряд сходящийся при r > 1 и расходящийся при r меньше или = 1 (Tannery, "Introduction à la theorie des fonctions d'une variable", p. 84).

4. Условная и абсолютная сходимость. Если Ряд (4) v0, v1, v2,... vn,...

сходящийся, но Ряд модулей его членов расходящийся, то говорят, что Ряд (4) условно сходящийся. Напр.

1, —1/2, 1/3, —1/4,...

Ряд наз. абсолютно сходящимся, если Ряд модулей его членов сходящийся.

Сумма условно-сходящегося Ряд изменяется с изменением порядка его членов. Напр.

1 — 1/2 + 1/3 — 1/4 +... = log2,

но 1 — 1/2 — 1/4 + 1/3 — 1/6 — 1/8 +...

= 1/2 — 1/4 + 1/6 — 1/8 +.... = 1/2 log 2.

Сумма абсолютно-сходящегося Ряд не зависит от порядка его членов.

Если числа а и b разлагаются в абсолютно-сходящиеся Ряд

а = a0 + a1 + a2 +.....,

b = b0 + b1 + b2 + ......,

то Ряд

a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b2 + a2b0, ...

абсолютно-сходящийся и, кроме того,

a0b0 + (a0b1 + a1b0) + (a0b2 + a1b2 + a2b0) +... = аb.

5. Равномерная сходимость. Предположим, что дан Ряд

(5)... f0(x), f1(x), f2(x),..., fn(x), ...

члены которого суть функции от одной переменной x, которая может принимать как вещественные, так и мнимые (см.) значения. Совокупность значений х, при которых этот Ряд сходящийся, образует так называемую область сходимости.

Ряд 1, х, 1.2x2, 1.2.3x3,. ......,

сходящийся только при x = 0.

Ряд 1, х, (1/2 + 1.2x2), (1/3 + 1.2.3x3), ...

расходящийся при всяком х.

Ряд 1, х/ 1, (x2/1.2), (x3/1.2.3), ...

сход. при всяком значении х. Если степенной Ряд α 0, α 1x, α 2x2, ...

сход. при каком-нибудь значении х, не равном нулю, то этот Ряд сход. и при всяком x, модуль которого меньше некоторого числа R. Если воспользоваться геометрическим представлением мнимых величин (см.), то можно сказать, что область сходимости этого Ряд есть круг радиуса R.

Примером может служить геометрическая прогрессия

1, x, x2, x3, ...., у которой радиус круга сходимости равен единице.

Если х принадлежит к области сход. Ряд (5), то при всяком n, большем некоторого числа т

mod [fn(x) + fn+1(x) + fn+2(x) +...] < ε, где ε — данное положительное число сколь угодно малое.

Вообще т зависит от х и от ε, но возможно, в особых случаях, что т зависит только от ε, если значения х принадлежат к некоторой области (S). В таком случае Ряд (5) наз. равномерно-сходящимся в области (S).

Для примера рассмотрим Ряд

(6)... (1 — х), х (1 — х), х2(1 — х) ....

ограничиваясь вещественными и положительными значениями х.

Этот Ряд сход. при при x меньше или = 1

Для того, чтобы имело место неравенство

(7)... х n(1 — x) + xn+1(1 — x) +... < ε или xn < ε,

надо взять n > Log ε /Logx

След., в рассматриваемом случае

т = Log ε /Logx.

Как видим, т зависит от х. Как бы велико ни было m, найдутся такие значения х в промежутке (0, 1), что неравенство (7) не будет удовлетворено при всяком n, большем т. Если х = 1, то неравенство (7) удовлетворяется при n больше или = 1

Это доказывает, что рассматриваемый Ряд неравномерно сход. в промежутке между 0 и 1.

Предположим, что

0 < x < (1 — α), где α произвольная положит, правильная дробь. Мы удовлетворим неравенству (7), полагая

т = Log ε /Log (1 — α) и n больше или = m

След. Ряд (6) равномерно сход. в промежутке (0, 1 — α).

Если в области равномерной сходимости члены ряда

f0(x), f1(x), f2(x) ...

суть непрерывные функции от x, то и сумма этого Ряд — непрерывная функция (см. Разрывность).

Равномерно сход. Ряд можно почленно интегрировать или дифференцировать.

Вопрос об интегрировании Ряд излагается во всяком курсе интегрального исчисления. Что же касается до дифференцирования Ряд, то об этом см. в сочинениях Вейерштрасса: "Mathematische Werke", 2-й том ("Abhandlungen", II, стр. 205—208).

Степенные Ряд

a0, а1х, а2х2 ...

обладают равномерною сходимостью внутри круга сходимости.

6. Разложение функций в ряды. В дальнейшем будем предполагать, что независимая переменная вещественная. При помощи формулы Маклорена (см.) получаются следующие разложения:

b54_518-1

(эти формулы справедливы при всяком x).

b54_518-2

Для того, чтобы при помощи формулы (9) вычислить, напр., cos 2°, надо вместо x подставить отношение к радиусу длины дуги, содержащей 2 градуса.

В форм. (11) логарифм взят при основании е. Эта форм. неудобна для вычисления логарифмов, так как надо брать очень много членов Ряд для получения даже незначительной точности. Более удобна для вычисления формула 13-я, которая выводится из формулы (11), полагая

(1 + х)/(1 — х) = (a + z)/z

в разложении функции log(1 + x) — log(l — x).

Полагая а = 1, z = 1, найдем log2;

" а = 1, z = 1, " log5;

а + z = 34, а = 80, " log3;

а + z = 74, а = 2400, " log7;

и т. д.

Умножив найденные натуральные логарифмы этих чисел на

М= 1/log10 = 0,43429 44819 03251 82765...,

получим обыкновенные логарифмы (при основании 10) тех же чисел (см.).

Форм. (12) справедлива при х = 1, если m > —1, и при x = —1, если m > 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, p. 245).

При помощи непосредственного деления разлагаются в степенные Ряд рациональные функции. Можно воспользоваться для этой цели и способом неопределенных коэффициентов. Полагая, напр.

1/(1 + 2t + 5t3 + 3t3) = y0 + y1t + y2t2 + y3t3 +...,

получим

y0 = 1, y1 + 2y0 = 0, y2 + 2y1 + 5y0 = 0,

y3 + 2y2 + 5 у1 + 3 у0 = 0,

y4 + 2y3 + 5 у2 + 3 у1 = 0 и т. д.

Ряд коэффициентов y 0, у1, y2 ... обладает тем свойством, что четыре последовательных коэфф. связаны соотношением yn+3 + 2yn+2 + 5 у n+1 + 3 у n = 0.

Такого рода Ряд наз. возвратными. Из написанных уравнений последовательно определяется y 0, у1, y2 ...

Разложение данной функции в Ряд найдется при помощи интегрального исчисления, если известно разложение в Ряд производной. Таким путем получаются разложение

(14)... arctgx = x — (x3/3) + (x5/5) —...

(15)... arcsin х = x/1 + 1/2(x3/3) + (1.2/2.4)(x5/5) + ...

справедливые для значений х, удовлетворяющих условиям

b54_518-3

Здесь arctg х и arcsinx обозначают числа, которые лежат между —π/2 и π/2 и tg или sin которых равен x.

Ряд (14) при помощи формулы Мэчена (Machin)

π /4 = 4arctg(1/5) — arctg(1/239)

дает возможность очень быстро вычислить π с большим числом десятичных знаков. Таким образом Шенкс (Shanks) вычислил π с 707 десятичными знаками. Разложение функций в тригонометрические Ряд и разложение эллиптических функций будет изложено впоследствии.

Д. С.

Смотрии так же...